Naast plaats en tijd is begrip van het aantal van doorslaggevend belang om goed te kunnen denken. Hangt er één appel aan de boom en plukken we die zelf, of hangt de boom vol appels en nodigen we het gehele dorp uit om appels te plukken?
Tellen om een betere keus te maken is voor kleine getallen een aangeboren vaardigheid die ook bij veel dieren aanwezig is. De ontwikkeling van tellen vindt plaats voordat we naar school gaan. Uit experimenten blijkt dat baby’s maximaal drie dingen tegelijk kunnen volgen. ‘Een baby kijkt verbaasd op als er drie poppen liggen en we halen er eentje weg. Maar het verschil tussen vier en één pop is er niet. Dan slaan de hersenen als het ware op tilt: “laat maar zitten.”10.7-1Bart Dirks 9 oktober 2018, 18:52 https://www.volkskrant.nl/wetenschap/waarom-je-volgens-deze-piepjonge-filosoof-toch-iets-van-wiskunde-moet-weten~b37d265b/ 10.7-2Stefan Buijsman (2018) Plussen en Minnen ISBN 9789403136202 Rond de tweede verjaardag ontwikkelen peuter een basis om te tellen. Ze snappen dan dat het getal 1 en dat 2 feitelijk 1 is en dan nog eens 1 is. Zo leren peuters het tellen op te bouwen: 3 is 2 plus nog 1. Peuters tussen de 15 en 18 maanden beginnen met het leren van de principes voor correct tellen door af te kijken hoe anderen in hun cultuur tellen. Peuters leren de abstracte principes voor correct tellen voordat ze zichtbaar gaan tellen.10.7-3Virginia Slaughter, Shoji Itakura, Aya Kutsuki and Michael Siegal (2011) Learning to count begins in infancy: evidence from 18 month olds' visual preferences
Tellen en rekenen beschouwen we vaak als een aangeboren vaardigheid, maar niets minder is waar. Hoewel onze rekenvaardigheid zich al vroeg lijkt te manifesteren, leren we pas tellen in grotere aantallen op de basisschool. Van nature hebben we echter geen gevoel voor grote getallen. Kleine getallen tot twintig zijn te begrijpen met vingers en tenen, maar voor grotere getallen geldt dit niet. We leren pas tellen in grotere aantallen op de basisschool.
De oorspronkelijke bewoners van het Amazone regenwoud, de Pirahã, hebben niet eens telwoorden. Ze drijven wel handel op gevoel en vertrouwen, maar zonder wisselkoers. Op Papoea-Nieuw-Guinea tellen de Yupno met hun lichaamsdelen. Zes is letterlijk vertaald ‘een hand en een vinger van een andere hand’, voor dertig wijzen ze op hun navel’. De Loboda, ook in Papoea-Nieuw-Guinea, rekenen nauwelijks. Wie een mand met vruchten krijgt, moet later een mand met dezelfde vrucht teruggeven. ‘Geld, of iets anders van dezelfde waarde, is geen optie.’
Verschillen in grote getallen zijn niet met het blote oog waarneembaar. Zelfs volwassenen zien geen verschil tussen 50 en 51. Rekenen met grote getallen is een abstracte vaardigheid die voorbehouden is aan mensen en allen na goed onderwijs begrepen kan worden. Maar zelfs dan is het verschil tussen miljoenen en miljarden is zo abstract dat het voor veel mensen lastig blijft te onderscheiden.
Reken met grotere getallen is noodzakelijk zodra we in grotere groepen samenleven. Dan moeten we voedselvoorraden verzamelen, bewaren en verdelen. Bovendien berekenen we dat gebouwen en bruggen sterk genoeg zijn om de natuurkrachten te weerstaan. Hoe beter we kunnen rekenen, hoe voorspoediger ons leven verloopt, omdat we betere beslissingen nemen. Een voorbeeld hiervan is de Oude Egyptische beschaving. Ongeveer 4000 jaar geleden werd er in het Oude Egypte al volop met getallen gewerkt. Dit blijkt uit het Rhind-papyrus document waarin de Egyptische schrijver Ahmes 84 wiskundige problemen en hun oplossingen beschrijft. De Egyptische samenleving rekenden met een samenhangend systeem van getallen. Dit was een van de eerste beschavingen die gebruik maakte van technologie, zoals irrigatie, wegenbouw en monumentale bouwwerken zoals piramiden. Daarnaast was de religie nauw verbonden met de positie van de hemellichamen die astronomische formules vereisen om de exacte positie te berekenen.
Toegepaste rekenkunde, bijvoorbeeld bussommen, kent voor beginnelingen problemen die verder gaan dan het optellen en aftrekken van getallen op zich. Kunnen rekenen is belangrijk, maar net zo belangrijk zijn de denkvaardigheden om gelijkwaardigheid en plaats en tijd te beheersen. Dit zijn vereenvoudigingsconcepten (abstracties) die een rekenaar moet begrijpen om een zinvolle berekening te kunnen maken.
De eerste denkvaardigheid is het vaststellen dat voorwerpen dezelfde kenmerken hebben. Ze zijn daardoor gelijkwaardig en uitwisselbaar. Het herkennen van voorwerpen staat aan de basis van rekenen. Tellen begint met het besef dat voorwerpen gelijkwaardig zijn. We kijken naar de wereld en zien dat voorwerpen dezelfde kenmerken hebben; ze zijn uitwisselbaar voor ons. We zien bijvoorbeeld kiezelsteentjes die voor ons gelijk zijn, maar als we goed kijken, is ieder steentje anders. We zien af van de verschillen, omdat vanuit ons gezichtspunt elk steentje hetzelfde kenmerk heeft en op dezelfde manier is te classificeren. Door de verschillen te verbergen en alleen te letten op de overeenkomsten vereenvoudigen we de wereld en kunnen we gaan tellen.
Deze versimpeling is een lastige denkslag, omdat we eerst moeten bepalen welke stenen wel mee- en niet meetellen. Om goed te kunnen tellen, moeten we eerst begrijpen tot welke groep een voorwerp behoort. Hiervoor moeten we afspreken welke kenmerken doorslaggevend zijn. (Venndiagrammen maken deze kenmerken en groepen inzichtelijk.) Deze waarnemingsabstractie vereenvoudigt de gekozen kenmerken en maakt het mogelijk om voorwerpen als hetzelfde te zien. Pas daarna kunnen we tellen. Tellen is hierdoor een abstractie bovenop gelijkwaardigheid.
Door de gelijkwaardigheid los te koppelen van het tellen, maken we het ons aan de ene kant gemakkelijker en aan de andere kant moeilijker. Het is gemakkelijker om we de rekenregels altijd kunnen toepassen, los van specifieke voorwerpen. Het bemoeilijkt het echter ook, omdat we tellen los gaan zien van de daadwerkelijke waarneming. We moeten begrijpen dat het tellen altijd hetzelfde blijft, ongeacht de gekozen kenmerken. We kunnen bijvoorbeeld elke reeks voorwerpen als een groep tellen, ongeacht of ze dezelfde kleur, vorm, grootte, enzovoort hebben.
Voor jonge kinderen die leren tellen, is het gemakkelijker als de voorwerpen tastbaar en verplaatsbaar zijn. Dit helpt bij het onderscheid tussen de al getelde en de nog te tellen groep. In het begin is tellen daarom gebonden aan zichtbare voorwerpen. Zolang de voorwerpen tastbaar en liefst verplaatsbaar zijn om te helpen de al getelde en de nog te tellen groep te onderscheiden, is het tellen alleen het toepassen van een rangorde. Moeilijker is het tellen van niet-fysieke zaken zoals geluiden en denkbeeldige voorwerpen. Dan moeten we de voorwerpen in ons hoofd voorstellen, verdelen in groepen en de telling bijhouden. Dit is een extra vaardigheid.10.7-4Bermejo, V., Morales, S. and Garcia de Osuna, J. (2004) Supporting children’s development of cardinality understanding, Learning and Instruction, 14: 381–98. Het besef ontstaat dan dat we alles kunnen tellen en dat tellen losstaat van voorwerpen.
Het onder de knie krijgen van de vereiste telregels is een uitdaging op zich. We leren de telregels in de volgende volgorde:10.7-5Gelman, R. & Gallistel, C. (1978) The Child's Understanding of Number. ISBN 9780674116375
Daarna leren we rekenen door op te tellen en af te trekken. Pas veel later leren we dat vermenigvuldigen eigenlijk herhaaldelijk optellen is, delen herhaaldelijk aftrekken is, machtsverheffingen herhaaldelijk vermenigvuldigen is, en worteltrekken herhaaldelijk delen is. Ontbreekt dit inzicht, dan blijft rekenen voor altijd een toverformule. Het zou mooi zijn als kinderen in groep acht van de basisschool leren rekenen met de pennenrekenmachine.10.7-7Een pennenrekenmachine is een mechanisch rekeninstrument dat veel werd gebruikt voordat elektronische rekenmachines beschikbaar waren. Het apparaat maakt gebruik van schuifjes en tandwielen om optel- en aftrekbewerkingen uit te voeren. Door aan de pen of hendel te draaien, worden de cijfers op de roterende schijven aangepast en kunnen gebruikers berekeningen uitvoeren. Ze werden vaak gebruikt in kantoren en scholen voor snelle en nauwkeurige berekeningen. Dit maakt het inzicht in de opbouw van rekenen tastbaar. Kinderen leren dan dat rekenen een gelaagde vereenvoudiging is om snel het resultaat te berekenen.
Toegepast rekenen vereist naast het onderkennen van gelijke kenmerken en beheersen van de telprincipes een derde vereenvoudigingslaag: die van tijd en plaats.10.7-8Bermejo, V., Morales, S. and Garcia de Osuna, J. (2004) Supporting children’s development of cardinality understanding, Learning and Instruction, 14: 381–98. Het is een vereenvoudiging om we de herhaling verwijderen, maar begrijpen we deze stap niet, dan maken we het moeilijker in plaats van gemakkelijker.
De bussom is een prachtig voorbeeld van hoe we tijd en ruimte aan het rekenen toevoegen. Bij de eerste halte zitten drie personen in de bus. Bij de volgende halte stappen drie mensen in en één uit. Bij de derde halte stappen twee personen in met drie cadaus. Hoeveel personen zitten in de bus na de derde halte? In deze rekensommetjes combineren we drie abstracties: de waarnemingsabstractie met gelijke kenmerken (personen), de rekenabstractie (3+3-1+2) en de tijdabstractie (volgorde in haltes). Als een kind één van deze abstracties niet begrijpt, is het antwoord fout. De vraag is dan welke abstractie het kind niet begrijpt. Is het de tijd (de volgorde van haltes), de ruimte (personen in de bus) of de rekenkundige bewerkingen (optellen en aftrekken)? Welke concepten begrijpt een kind dat een foutief antwoord geeft niet? Simpelweg een onvoldoende geven op het vak rekenen en nog meer rekensommen maken, lost het onderliggende probleem niet op. Een fout antwoord is vaak niet een rekenprobleem, maar een tijd-ontleding en groepsvaststelling probleem.
De vraag is hoe we deze lagen ontdekken, begrijpen, voorspellen en benoemen. Wanneer valt het kwartje? Dit zijn belangrijke, nog onbeantwoorde vragen. Een illustratie van het belang hiervan is de bijles die kinderen in de zomer van 2020 kregen om leerachterstanden door de COVID-19 pandemie weg te werken. Ze leerden in twee weken rekenen met eten van pannenkoeken meer dan in de zes maanden daarvoor. Blijkbaar is inzicht trainbaar. Maar wat is precies het verschil tussen deze bijles en de gewone lessen? Waarom zien leerlingen na de bijles wel helder de rekenprincipes voor zich en tijdens de gewone les niet? Er blijven genoeg vragen waarop de volledige antwoorden nog ontbreken.
Antwoorden zijn belangrijke omdat kinderen die al jong een achterstand opbouwen, grote moeite hebben om dat in te halen. Die achterstand laat zich vrijwel niet meer inhalen. Een vreemde taal kunnen we nog met handen en voeten spreken, rekenkunde niet. Er is geen verschil tussen jongens en meisjes in dit opzicht.10.7-9Alyssa J. Kersey, Kelsey D. Csumitta & Jessica F. Cantlon. Gender similarities in the brain during mathematics development. npj Science of Learning volume, 2019
De verhaalsommen op de basisschool verschillen in opzet nauwelijks van de situatiebeschrijvingen op de middelbare school of universiteit. De situatie is uitgebreider en het beantwoorden van de bijbehorende vraag vereist meer denkwerk, maar de opzet blijft gelijk. In een situatiebeschrijving verstoppen we de doorslaggevende kenmerken, maskeren we de volgorde van activiteiten en mengen we meerdere grootheden. We maken van de opgave dan een puzzeltocht om te zien of alle lagen zijn begrepen. Op een universiteit bestaan opgaven uit meerdere beschouwingslagen die elk verschillende grootheden kennen. We vragen bijvoorbeeld om de warmte die vrijkomt bij verbranding van een ton steenkool te vergelijken met de elektriciteit die een windmolen opwekt in een bepaald tijdvak. De clou hierbij is het meten van de energie op verschillende manieren en het omzetten daarvan in vergelijkbare joules. Ontbreekt de vaardigheid om de situatie te vereenvoudigen door lagen te onderkennen, dan kent de berekening kop noch staart.
Vorige pagina Volgende pagina Inhoudsopgave